Пьер Ферма родился на юге Франции в городке Бомон-де-Ломань, где его отец - Доминик Ферма - был "вторым консулом", т. е. чем-то вроде помощника мэра. Метрическая запись о его крещении от 20 августа 1601 года гласит: "Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консула города Бомона".
В колледже Пьер приобрел хорошее знание языков: латинского, греческого, испанского, итальянского. Ферма славился как тонкий знаток античности, к нему обращались за консультацией по поводу трудных мест при изданиях греческих классиков.
Но Ферма направил всю силу своего гения на математические исследования. И все же математика не стала его профессией. Ферма избирает юриспруденцию. Степень бакалавра была ему присуждена в Орлеане. С 1630 года Ферма переселяется в Тулузу, где получает место советника в Парламенте (т. е. суде). В 1631 году Ферма женился на своей дальней родственнице с материнской стороны - Луизе де-Лонг. У Пьера и Луизы было пятеро детей, из которых старший, Самюэль, стал поэтом и ученым. Ему мы обязаны первым собранием сочинений Пьера Ферма, вышедшим в 1679 году. Ни одно из его сочинений не было опубликовано при жизни. Однако нескольким трактатам он придал вполне законченный вид, и они стали известны в рукописи большинству современных ему ученых. Одной из первых математических работ Ферма было восстановление двух утерянных книг Аполлония "О плоских местах".
Крупную заслугу Ферма перед наукой видят, обыкновенно, во введении им бесконечно малой величины в аналитическую геометрию, подобно тому, как это, несколько ранее, было сделано Кеплером в отношении геометрии древних. Он совершил этот важный шаг в своих относящихся к 1629 году работах о наибольших и наименьших величинах, - работах, открывших собою тот ряд исследований Ферма, который является одним из самых крупных звеньев в истории развития не только высшего анализа вообще, но и анализа бесконечно малых в частности. .
До Ферма систематические методы вычисления площадей разработал итальянский ученый Кавальери. Но уже в 1642 году Ферма открыл метод вычисления площадей, ограниченных любыми "параболами" и любыми "гиперболами". Им было показано, что площадь неограниченной фигуры может быть конечной.
Ферма одним из первых занялся задачей спрямления кривых, т. е. вычислением длины их дуг. Он сумел свести эту задачу к вычислению некоторых площадей.
Дальнейший успех методов определения "площадей", с одной стороны, и "методов касательных и экстремумов" - с другой,состоял в установлении взаимной связи этих методов.
18 октября 1640 года Ферма высказал следующее утверждение: если число а не делится на простое число р, то существует такой показатель к, что а-1 делится на р, причем к является делителем р-1. Это утверждение получило название малой теоремы Ферма. Оно является основным во всей элементарной теории чисел.
Лучшие дня
В задаче второй книги своей "Арифметики" Диофант поставил задачу представить данный квадрат в виде суммы двух рациональных квадратов. На полях, против этой задачи, Ферма написал: "Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки". Это и есть знаменитая Великая теорема.
Великая теорема стоит на первом месте по числу данных ей неверных доказательств.
Сам Ферма оставил доказательство Великой теоремы для четвертых степеней.
В прошлом веке Куммер, занимаясь Великой теоремой Ферма, построил арифметику для целых алгебраических чисел определенного вида. Это позволило ему доказать Великую теорему для некоторого класса простых показателей n. В настоящее время справедливость Великой теоремы проверена для всех показателей n меньше 5500.
Ферма первым пришел к идее координат и создал аналитическую геометрию. Он занимался также задачами теории вероятностей. Ферма принадлежит открытие закона распространения света в средах. Применив свой метод максимумов и минимумов, он нашел путь света и установил, в частности, закон преломления света.
Пьер де Ферма (1601 - 1665) - французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года - советник парламента в Тулузе. Блестящий полиглот. Наиболее известен формулировкой Великой теоремы Ферма .
Пьер Ферма получил юридическое образование. В колледже он приобрел хорошее знание языков: латинского, греческого, испанского, итальянского, французского. Успешно закончив учебу, Ферма выкупил должность королевского советника парламента (другими словами, члена высшего суда) в Тулузе. Быстрый служебный рост позволил Ферма стать членом Палаты эдиктов в городе Кастр (1648). Именно этой должности он обязан добавлением к своему имени признака знатности - частицы de ; с этого времени он становится Пьером де Ферма.
Работа советником парламента города Тулузы не мешала Ферма заниматься математикой. Постепенно он приобрёл славу одного из первых математиков Франции, хотя и не писал книг (научных журналов ещё не было), ограничиваясь лишь письмами к коллегам. Открытия Ферма дошли до нас благодаря сборнику его обширной переписки (в основном через Мерсенна), изданной посмертно сыном Ферма. В отличие от Галилея, Декарта и Ньютона, Ферма был чистым математиком - первым великим математиком новой Европы. Независимо от Декарта он создал аналитическую геометрию. Раньше Ньютона умел использовать дифференциальные методы для проведения касательных, нахождения максимумов и вычисления площадей. Правда, Ферма, в отличие от Ньютона, не свёл эти методы в систему, однако Ньютон позже признавался, что именно работы Ферма подтолкнули его к созданию анализа. Но главная заслуга Ферма - создание теории чисел.
Математики Древней Греции со времён Пифагора собирали и доказывали разнообразные утверждения, относящиеся к натуральным числам (например,
методы построения всех пифагоровых троек, метод построения совершенных чисел и т. п.). Диофант Александрийский (III век н. э.) в своей
«Арифметике» рассматривал многочисленные задачи о решении в рациональных числах алгебраических уравнений с несколькими неизвестными (ныне
уравнения, которые требуется решить в целых числах, называются диофантовыми
). Эта книга (правда, не полностью) стала известна в Европе
в XVI веке, а в 1621 году она была издана во Франции и стала настольной книгой Ферма. Он постоянно интересовался арифметическими задачами,
обменивался сложными задачами с современниками. Например, в своём письме, получившем название «Второго вызова математикам» (февраль 1657), он
предложил найти общее правило решения уравнения Пелля в целых числах. (Уравнение Пелля - диофантово уравнение вида:
где n
- натуральное число, не являющееся квадратом). В письме Ферма предлагал найти решения для ряда частных значений n
.
Полное решение задачи Ферма было найдено лишь через сто лет Эйлером.
Начал Ферма с задач про магические квадраты и кубы, но постепенно переключился на закономерности натуральных чисел - арифметические теоремы.
Ферма разработал способ систематического нахождения всех делителей числа, сформулировал теорему о возможности представления произвольного
числа суммой не более четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).
Ферма стал широко известен благодаря так называемой «Великой теореме Ферма»: Для любого натурального числа n
> 2 диофантово уравнение
не имеет натуральных решений x
, y
и z
.
Теорема была сформулирована Ферма в 1637 году, на полях книги «Арифметика» Диофанта с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы привести его на полях. Вероятнее всего, его доказательство не было верным, так как позднее он опубликовал доказательство только для случая n = 4. Великая теорема Ферма ждала своего решения больше 350 лет! Доказательство было найдено лишь в 1994 году английским математиком Эндрю Уайлсом после 8 лет напряженной работы, содержит 129 страниц и опубликовано в журнале «Annals of Mathematics» в 1995 году. Простота формулировки этой теоремы привлекла много математиков-любителей, так называемых ферматистов. Даже после решения Уайлса во все академии наук мира продолжают идти письма с «доказательствами» Великой теоремы Ферма.
Многие арифметические открытия Ферма опередили время и были забыты на 70 лет, пока ими не заинтересовался Эйлер, опубликовавший систематическую теорию чисел. Одна из причин этого - интересы большинства математиков переключились на математический анализ.
В области математического анализа Ферма практически по современным правилам находил касательные к алгебраическим кривым. Именно эти работы
подтолкнули Ньютона к созданию анализа. В учебниках по математическому анализу можно найти важную лемму Ферма
, или необходимый признак
экстремума: в точках экстремума производная функции равна нулю.
Ферма сформулировал общий закон дифференцирования дробных степеней и распространил формулу интегрирования степени на случаи дробных и
отрицательных показателей. Наряду с Декартом, Ферма считается основателем аналитической геометрии. В работе «Введение к теории плоских и
пространственных мест», ставшей известной в 1636 году, он первый провёл классификацию кривых в зависимости от порядка их уравнения, установил,
что уравнение первого порядка определяет прямую, а уравнение второго порядка - коническое сечение. Развивая эти идеи, Ферма пошёл дальше
Декарта и применил аналитическую геометрию к пространству.
Независимо от Паскаля Ферма разработал основы теории вероятностей. Именно с переписки Ферма и Паскаля (1654), в которой они, в частности, пришли к понятию математического ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей, отсчитывает свою историю эта замечательная наука. В 1660 году планировалась его встреча с Паскалем, но из-за плохого здоровья обоих учёных встреча не состоялась. Результаты Ферма и Паскаля были приведены в книге Гюйгенса «О расчётах в азартной игре» (1657), первом руководстве по теории вероятностей.
Имя Ферма носит основной принцип геометрической оптики, в силу которого свет в неоднородной среде выбирает путь, занимающий наименьшее время (впрочем, Ферма считал, что скорость света бесконечна, и формулировал принцип более туманно). С этого тезиса начинается история главного закона физики - принципа наименьшего действия.
Ферма перенёс на трёхмерный случай (внутреннего касания сфер) алгоритм Виета для задачи Аполлония (касания окружностей).
Пьер де Ферма умер 12 января 1665 года в городе Кастр, во время выездной сессии суда. Первоначально его похоронили там же, в Кастре, но позже (1675) прах перенесли в семейную усыпальницу Ферма, в церкви августинцев в Тулузе. Старший сын Ферма издал посмертное собрание его трудов, из которого современники и узнали о замечательных открытиях Пьера Ферма. Современники характеризовали Ферма как честного, аккуратного, уравновешенного и приветливого человека, блестяще эрудированного как в математике, так и в гуманитарных науках, знатока древних и живых языков. На латинском, французском и испанском языках он писал неплохие стихи.
Цитаты : Я более свободен и дистанцирован, чем любой человек в мире.
Достижения и вклады:
Профессиональная, социальная позиция:
Пьер де Ферма — великий французский математик, юрист по профессии. Он работал адвокатом в Парламенте Тулузы во Франции и математиком занимался как любитель.
Основной вклад (чем известен):
Ферма сделал весомый вклад в аналитическую геометрию, математический анализ, теорию вероятностей, оптику и, в особенности, теорию чисел.
Вклады:
Аналитическая геометрия.
Современник Рене Декарта, он самостоятельно пришел к 3-мерной геометрии, но не опубликовал свои работы и данная область получила имя декартовой геометрии.
Теория чисел.
Его блестящие исследования возвели его в ранг основоположника современной теории чисел. Он определил «Великую теорему Ферма» (1637), а также «Малую теорему Ферма» (1640) и разработал индуктивный «метод бесконечного спуска», который был первым общим доказательством диофантовых вопросов. Он сделал несколько открытий в отношении свойств чисел, на которых он впоследствии создал свой метод расчета вероятностей.
Математический анализ
. Он создал оригинальный метод для определения максимумов, минимумов и касательных к различным кривым, который был эквивалентным дифференциальному исчислению. Он получил метод для нахождения центров тяжести различных плоских и пространственных фигур, которые привели его к дальнейшим работам в области квадратуры. Полученная формула была позже использована Ньютоном и Лейбницем, когда они самостоятельно разрабатывали основную теорему исчисления.
Теория вероятностей.
В 1654 г. Блез Паскаль написал письмо Ферма с просьбой высказать его взгляды на проблему вероятности. Серия писем из их переписки легла в основу теории вероятностей. В 1660 он планировал встретиться с Паскалем, но встреча не состоялось по причине болезни обоих ученых.
Оптика.
Он предложил принцип наименьшего времени, который гласит, что свет будет проходить через оптическую систему таким образом, чтобы пройти от начала к конечной точки в кратчайшее время. Принцип наименьшего времени Ферма был первым вариационным принципом, сформулированным в физике.
Таким образом, Ферма является одной из ключевых фигур в процессе исторического развития фундаментального принципа наименьшего действия в физике. Термин «функционал Ферма» был назван в знак признания его роли в этой области.
Основные труды:
Основные работы: «Введение к теории плоских и пространственных мест», «Ad Locos Planos др. Solidos Isagoge» (1636, опубл. 1679); «Метод отыскания наибольших и наименьших значений», “Methodus ad disquirendam maximam et minima” (опубл. в 1679), “De tangentibus linearum curvarum”. Изданы в сборнике «Разные математические сочинения» («Varia opera mathematica», Tolosae, 1679)
Карьера и личная жизнь:
Происхождение:
Ферма родился в городке Бомон-де-Ломань, около Монтобана, Франция. Он был сыном Доминика Ферма, богатого продавца кожи, а позже второго консула Бомон-де-Ломань и Клер де Лонг. Он был баскского происхождения. Его мать, Клер де Лонг была преподавательницей математики.
Образование:
Существует мало свидетельств о его школьном образовании, но возможно он учился в местном францисканском монастыре. Позже он поступил в университет Тулузы, где изучал юриспруденцию и а также иностранные языки, классическую литературу, древнюю науку и математику.
Основные этапы профессиональной деятельности:
Во второй половине 1620-х годов он переехал в Бордо, где и начал проводить свои первые серьезные математические исследования. Из Бордо Ферма переехал в Орлеан, где он изучал право в университете. В 1631 он стал советником при парламенте и получил титул советника Верховного суда Тулузы, который он занимал до конца своей жизни.
В 1648 году он был назначен советником короля в парламенте Тулузы. Он сделал стремительную карьеру и в 1652 году стал главным судьей уголовного суда. Его работа позволяла проводить большое количество времени в одиночестве. Именно в это время он, повинуясь своей страсти к математике, разработал свои основные теоремы и теории.
Основные этапы личной жизни:
В 1631 году он женился на двоюродной сестре своей матери, Луизе де Лонг. Они имели троих сыновей и двух дочерей. Современники характеризовали его как честного, аккуратного, уравновешенного и добродушного человека, блестяще эрудированного в математике и в гуманитарных науках, знатока многих древних и живых языков, на которых он писал хорошие стихи.
Он умер 12 января 1665 в городе Кастр, Франция.
Изюминка
: Существует некоторые сомнения относительно точной даты его рождения. Говорят, что он был крещен 20 августа 1601, но его надгробие указывает на дату 1608, другие свидетельства указывают на 1595 год. Он был профессиональным адвокатом, который занимался математикой в свободное время. Ферма свободно говоря на латыни, греческом, итальянском и испанском языках, писал стихи на нескольких языках и его советы в отношении исправления греческих текстов ценились специалистами.
Сэр Исаак Ньютон говорил, что его изобретение исчисления основывается большей частью на методе касательных Ферма. Он известен своей легендарной Последней теоремой Ферма (1637), в которой говорится, что для натуральных чисел х, у, z не существует натурального числа n больше 2, для которых справедливо отношение xn + yn = zn. Он умер, не раскрывая ее доказательства, пока в 1994 году, английский математик Эндрю не доказал ее. Лунный кратер и улица в Париже названа его именем.
Ферма, Пьер
Ферма (Fermat) Пьер (1601-1665), французский математик, один из создателей аналитической геометрии и теории чисел (теоремы Ферма). Труды по теории вероятностей, исчислению бесконечно малых и оптике (принцип Ферма).
ФЕРМА, ПЬЕР (Fermat, Pierre) (1601-1665), французский математик, создатель теории чисел и один из основателей математического анализа. Родился 20 августа 1601 в Бомон-де-Ломане. Будучи по профессии юристом, состоял на государственной службе: с 1631 по 1648 был уполномоченным по приему прошений, а с 1648 и до конца жизни - советником парламента Тулузы. Был известен как знаток классической литературы, лингвист и поэт. Математика всегда была для Ферма лишь увлечением, и тем не менее он заложил основы многих ее областей: аналитической геометрии, исчисления бесконечно малых, теории вероятностей. Ферма не оставил ни одной законченной работы, и большинство его набросков не было опубликовано при жизни. Ферма переписывался с Р. Декартом по вопросам аналитической геометрии и был первым, кто воспользовался ее методами применительно к трехмерному пространству. С именем Ферма связаны две знаменитые теоремы из области теории чисел: малая теорема Ферма и «великая» теорема Ферма, о которой на полях трудов Диофанта он написал: «Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но эти поля слишком малы для него». Согласно этой теореме, уравнение, где n > 2 не имеет целых положительных корней. Ее доказательство в общем виде было получено лишь в 1994. Идеи и открытия Ферма в области теории чисел оказали колоссальное влияние на последующие поколения математиков. Умер Ферма в Кастре близ Тулузы 12 января 1665. математик ферма теорема число
Использованы материалы энциклопедии "Мир вокруг нас"
Ферма Пьер
Пьер Ферма родился на юге Франции в городке Бомон-де-Ломань, где его отец - Доминик Ферма - был "вторым консулом", т. е. чем-то вроде помощника мэра. Метрическая запись о его крещении от 20 августа 1601 года гласит: "Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консула города Бомона".
В колледже Пьер приобрел хорошее знание языков: латинского, греческого, испанского, итальянского. Ферма славился как тонкий знаток античности, к нему обращались за консультацией по поводу трудных мест при изданиях греческих классиков.
Но Ферма направил всю силу своего гения на математические исследования. И все же математика не стала его профессией. Ферма избирает юриспруденцию. Степень бакалавра была ему присуждена в Орлеане. С 1630 года Ферма переселяется в Тулузу, где получает место советника в Парламенте (т. е. суде). В 1631 году Ферма женился на своей дальней родственнице с материнской стороны - Луизе де-Лонг. У Пьера и Луизы было пятеро детей, из которых старший, Самюэль, стал поэтом и ученым. Ему мы обязаны первым собранием сочинений Пьера Ферма, вышедшим в 1679 году. Ни одно из его сочинений не было опубликовано при жизни. Однако нескольким трактатам он придал вполне законченный вид, и они стали известны в рукописи большинству современных ему ученых. Одной из первых математических работ Ферма было восстановление двух утерянных книг Аполлония "О плоских местах".
Крупную заслугу Ферма перед наукой видят, обыкновенно, во введении им бесконечно малой величины в аналитическую геометрию, подобно тому, как это, несколько ранее, было сделано Кеплером в отношении геометрии древних. Он совершил этот важный шаг в своих относящихся к 1629 году работах о наибольших и наименьших величинах, - работах, открывших собою тот ряд исследований Ферма, который является одним из самых крупных звеньев в истории развития не только высшего анализа вообще, но и анализа бесконечно малых в частности.
До Ферма систематические методы вычисления площадей разработал итальянский ученый Кавальери. Но уже в 1642 году Ферма открыл метод вычисления площадей, ограниченных любыми "параболами" и любыми "гиперболами". Им было показано, что площадь неограниченной фигуры может быть конечной.
Ферма одним из первых занялся задачей спрямления кривых, т. е. вычислением длины их дуг. Он сумел свести эту задачу к вычислению некоторых площадей.
Дальнейший успех методов определения "площадей", с одной стороны, и "методов касательных и экстремумов" - с другой, состоял в установлении взаимной связи этих методов.
18 октября 1640 года Ферма высказал следующее утверждение: если число а не делится на простое число р, то существует такой показатель к, что а-1 делится на р, причем к является делителем р-1. Это утверждение получило название малой теоремы Ферма. Оно является основным во всей элементарной теории чисел.
В задаче второй книги своей "Арифметики" Диофант поставил задачу представить данный квадрат в виде суммы двух рациональных квадратов. На полях, против этой задачи, Ферма написал: "Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки". Это и есть знаменитая Великая теорема.
Великая теорема стоит на первом месте по числу данных ей неверных доказательств.
Сам Ферма оставил доказательство Великой теоремы для четвертых степеней.
В прошлом веке Куммер, занимаясь Великой теоремой Ферма, построил арифметику для целых алгебраических чисел определенного вида. Это позволило ему доказать Великую теорему для некоторого класса простых показателей n. В настоящее время справедливость Великой теоремы проверена для всех показателей n меньше 5500.
Ферма первым пришел к идее координат и создал аналитическую геометрию. Он занимался также задачами теории вероятностей. Ферма принадлежит открытие закона распространения света в средах. Применив свой метод максимумов и минимумов, он нашел путь света и установил, в частности, закон преломления света.
Использованы материалы сайта http://100top.ru/encyclopedia/
Литература
Хинчин А.Я. Великая теорема Ферма. М. - Л., 1932
Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. М., 1980
Пьер Ферма родился 17 августа 1601 года в гасконском городке Бомон-де-Ломань (Beaumont-de-Lomagne, Франция). Его отец, Доминик Ферма, был зажиточным торговцем, вторым городским консулом; мать, Клер де Лонг - преподавательница математики. В семье, кроме Пьера, были ещё один сын и две дочери. Ферма получил юридическое образование - сначала в Тулузе, а затем в Бордо и Орлеане.
В 1631 году, успешно закончив обучение, Ферма выкупил должность королевского советника парламента (другими словами, члена высшего суда) в Тулузе. В этом же году он женился на дальней родственнице матери, Луизе де Лонг. У них было пятеро детей.
Быстрый служебный рост позволил Ферма стать членом Палаты эдиктов в городе Кастр (1648). Именно этой должности он обязан добавлением к своему имени признака знатности - частицы de; с этого времени он становится Пьером де Ферма.
Около 1652 года Ферма пришлось опровергать сообщение о своей кончине во время эпидемии чумы; он действительно заразился, но выжил.
В 1660 году планировалась его встреча с Паскалем, но из-за плохого здоровья обоих учёных встреча не состоялась.
Пьер де Ферма умер 12 января 1665 года в городе Кастр, во время выездной сессии суда. Первоначально его похоронили там же, в Кастре, но вскоре (1675) прах перенесли в семейную усыпальницу Ферма, в церкви августинцев (Тулуза). Старший сын, Клеман-Самуэль, издал посмертное собрание его трудов, из которого современники и узнали о замечательных открытиях Пьера Ферма.
Современники характеризуют Ферма как честного, аккуратного, уравновешенного и приветливого человека, блестяще эрудированного как в математике, так и в гуманитарных науках, знатока многих древних и живых языков, на которых он писал неплохие стихи.
Научная деятельность
Работа советника в парламенте города Тулузы не мешала Ферма заниматься математикой. Постепенно он приобрёл славу одного из первых математиков Франции, хотя и не писал книг (научных журналов ещё не было), ограничиваясь лишь письмами к коллегам. Среди его корреспондентов были Р. Декарт, Ж. Дезарг, Ж. Роберваль и другие.
Открытия Ферма дошли до нас благодаря сборнику его обширной переписки (в основном через Мерсенна), изданной посмертно сыном Ферма.
В отличие от Галилея, Декарта и Ньютона, Ферма был чистым математиком - первым великим математиком новой Европы. Независимо от Декарта он создал аналитическую геометрию. Раньше Ньютона умел использовать дифференциальные методы для проведения касательных, нахождения максимумов и вычисления площадей. Правда, Ферма, в отличие от Ньютона, не свёл эти методы в систему, однако Ньютон позже признавался, что именно работы Ферма подтолкнули его к созданию анализа.
Но главная его заслуга - создание теории чисел.
Теория чисел
Математики Древней Греции со времён Пифагора собирали и доказывали разнообразные утверждения, относящиеся к натуральным числам (например, методы построения всех пифагоровых троек, метод построения совершенных чисел и т. п.). Диофант Александрийский (III век н. э.) в своей «Арифметике» рассматривал многочисленные задачи о решении в рациональных числах алгебраических уравнений с несколькими неизвестными (ныне диофантовыми принято называть уравнения, которые требуется решить в целых числах). Эта книга (не полностью) стала известна в Европе в XVI веке, а в 1621 году она была издана во Франции и стала настольной книгой Ферма.
Ферма постоянно интересовался арифметическими задачами, обменивался сложными задачами с современниками. Например, в своём письме, получившем название «Второго вызова математикам» (февраль 1657), он предложил найти общее правило решения уравнения Пелля в целых числах. В письме он предлагал найти решения при a=149, 109, 433. Полное решение задачи Ферма было найдено лишь в 1759 году Эйлером.
Начал Ферма с задач про магические квадраты и кубы, но постепенно переключился на закономерности натуральных чисел - арифметические теоремы. Несомненно влияние Диофанта на Ферма, и символично, что он записывает свои удивительные открытия на полях «Арифметики».
Ферма обнаружил, что если a не делится на простое число p, то число всегда делится на p (см. Малая теорема Ферма). Позднее Эйлер дал доказательство и обобщение этого важного результата: см. Теорема Эйлера.
Обнаружив, что число простое при k ? 4, Ферма решил, что эти числа простые при всех k, но Эйлер впоследствии показал, что при k=5 имеется делитель 641. До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно множество простых чисел Ферма.
Эйлер доказал (1749) ещё одну гипотезу Ферма (сам Ферма редко приводил доказательства своих утверждений): простые числа вида 4k+1 представляются в виде суммы квадратов (5=4+1; 13=9+4), причём единственным способом, а для чисел, содержащих в своём разложении на простые множители простые числа вида 4k+3 в нечётной степени, такое представление невозможно. Эйлеру это доказательство стоило 7 лет трудов; сам Ферма доказывал эту теорему косвенно, изобретённым им индуктивным «методом бесконечного спуска». Этот метод был опубликован только в 1879 году; впрочем, Эйлер восстановил суть метода по нескольким замечаниям в письмах Ферма и неоднократно успешно его применял. Позже усовершенствованную версию метода применяли Пуанкаре и Андре Вейль.
Ферма разработал способ систематического нахождения всех делителей числа, сформулировал теорему о возможности представления произвольного числа суммой не более четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов). Самое знаменитое его утверждение - «Великая теорема Ферма» (см. ниже).
Многие арифметические открытия Ферма опередили время и были забыты на 70 лет, пока ими не заинтересовался Эйлер, опубликовавший систематическую теорию чисел. Одна из причин этого - интересы большинства математиков переключились на математический анализ.
Математический анализ и геометрия
Ферма практически по современным правилам находил касательные к алгебраическим кривым. Именно эти работы подтолкнули Ньютона к созданию анализа. В учебниках по математическому анализу можно найти важную лемму Ферма, или необходимый признак экстремума: в точках экстремума производная функции равна нулю.
Ферма сформулировал общий закон дифференцирования дробных степеней и распространил формулу интегрирования степени на случаи дробных и отрицательных показателей.
Наряду с Декартом, Ферма считается основателем аналитической геометрии. В работе «Введение к теории плоских и пространственных мест», ставшей известной в 1636 году, он первый провёл классификацию кривых в зависимости от порядка их уравнения, установил, что уравнение первого порядка определяет прямую, а уравнение второго порядка - коническое сечение. Развивая эти идеи, Ферма пошёл дальше Декарта и применил аналитическую геометрию к пространству.
Другие достижения
Независимо от Паскаля Ферма разработал основы теории вероятностей. Именно с переписки Ферма и Паскаля (1654), в которой они, в частности, пришли к понятию математического ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей, отсчитывает свою историю эта замечательная наука. Результаты Ферма и Паскаля были приведены в книге Гюйгенса «О расчётах в азартной игре» (1657), первом руководстве по теории вероятностей.
Имя Ферма носит основной принцип геометрической оптики, в силу которого свет в неоднородной среде выбирает путь, занимающий наименьшее время (впрочем, Ферма считал, что скорость света бесконечна, и формулировал принцип более туманно). С этого тезиса начинается история главного закона физики - принципа наименьшего действия.
Ферма перенёс на трёхмерный случай (внутреннего касания сфер) алгоритм Виета для задачи Аполлония (касания окружностей).
Великая теорема Ферма
Ферма широко известен благодаря так называемой великой (или последней) теореме Ферма. Теорема была сформулирована им в 1637 году, на полях книги «Арифметика» Диофанта с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы привести его на полях.
Вероятнее всего, его доказательство не было верным, так как позднее он опубликовал доказательство только для случая. Доказательство, найденное в 1994 году Эндрю Уайлсом, содержит 129 страниц и опубликовано в журнале «Annals of Mathematics» в 1995 году.
Простота формулировки этой теоремы привлекла много математиков-любителей, так называемых ферматистов. Даже и после решения Уайлса во все академии наук идут письма с «доказательствами» великой теоремы Ферма.
Увековечение памяти
- Старейший и самый престижный лицей Тулузы носит имя Ферма (Lyc?e Pierre de Fermat).
