Линейная комбинация векторов примеры решения. Линейная зависимость и линейная независимость векторов

Итак, задача исследования системы векторов на линейную зависимость сводится к задаче нахождения ранга матрицы, составленной из векторов этой системы.

Следует заметить, что при p>n система векторов будет линейно зависимой.

Замечание : при составлении матрицы А векторы системы можно брать не в качестве строк, а в качестве столбцов.

Алгоритм исследования системы векторов на линейную зависимость.

Разберем алгоритм на примерах.

Примеры исследования системы векторов на линейную зависимость.

Пример.

Дана система векторов . Исследуйте ее на линейную зависимость.

Решение.

Так как вектор c нулевой, то исходная система векторов линейно зависима в силу третьего свойства.

Ответ:

Система векторов линейно зависима.

Пример.

Исследуйте систему векторов на линейную зависимость.

Решение.

Не сложно заметить, что координаты вектора c равны соответствующим координатам вектора , умноженным на 3 , то есть, . Поэтому, исходная система векторов линейно зависима.

Зададим в (действительном или комплексном) систему из векторов

По определению система (1) линейно независима, если из векторного равенства

где , , ..., - числа (соответственно действительные или комплексные), следует, что

Система векторов (1) называется линейно зависимой, если существуют числа , , ..., , одновременно не равные нулю, для которых выполняется равенство (2). Если для определенности считать, что , то из (2) следует, что

Таким образом, если система из векторов линейно зависима, то один из них есть, как говорят, линейная комбинация остальных, или, как еще говорят, зависит от остальных.

Так как все время будет идти речь о линейной зависимости, то термин линейный будем позволять себе иногда опускать. Будем также говорить зависимые или независимые векторы вместо зависимая или независимая система векторов.

Один вектор тоже образует систему - линейно независимую, если , и зависимую, если .

Если система векторов линейно независима, то любая часть этой системы тем более линейно независима. Иначе нашлась бы нетривиальная система чисел ,…,, для которой выполнялось бы

но тогда для системы , ..., , , которая тоже нетривиальна, имело бы место

Из сказанного следует, что если система векторов линейно зависима то любая пополненная система

обладает тем же свойством. В частности, система векторов, содержащая в себе нулевой вектор, всегда линейно зависима.

Составим матрицу, определяемую векторами системы (1):

Теорема 1. Если ранг , т.е. ранг равен числу векторов, то система (1) линейно независима.

Если же ранг , то система (1) линейно зависима.

Пример 1. Два вектора , в действительном пространстве образуют линейно независимую систему, если определитель

потому что векторное уравнение

эквивалентно двум уравнениям для соответствующих компонент

Но если , то система (5) имеет единственное тривиальное решение

Если же , то уравнениям (5) удовлетворяет некоторая нетривиальная система , т.е. при система векторов , линейно зависима.

Очевидно, сказать, что в действительном пространстве векторы и коллинеарны или линейно зависимы - это все равно. Но тогда сказать, что векторы и не коллинеарны или линейно независимы - это тоже все равно.

Пример 2. Система векторов , , ...., в действительном пространстве всегда линейно зависима. Геометрически это ясно из рис. 33: если произвольный вектор и , - неколлинеарные векторы, то всегда можно указать такие числа , , что

Это показывает, что система , , линейно зависима. Если же и - коллинеарные векторы, то они линейно зависимы. Тем более линейно зависимы , , .

По теореме 1, чтобы исследовать пару векторов , , мы должны записать матрицу из их координат

В данном случае .

а) Если ранг , то теорема утверждает, что векторы , линейно зависимы.

б) Если же ранг , то векторы , линейно независимы.

Это совпадает с приведенными выводами, потому что в случае а) и б).

Тот факт, что три произвольных вектора , , в линейно зависимы, тоже предусмотрен теоремой - ведь ранг

Пример 3. В трехмерном действительном пространстве два вектора

линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

В самом деле, пусть , коллинеарны. Если один из данных векторов нулевой, то они линейно зависимы. Если же и коллинеарны и не нулевые, то

где - некоторое число. Последнее означает, что , линейно зависимы.

Обратно, если , линейно зависимы, то один из них зависит от другого, например

т.е. векторы коллинеарны.

Если в этом случае рассмотреть матрицу

то элементы строк матрицы пропорциональны, и поэтому

т.е. наше утверждение согласуется с теоремой 1.

Пример 4. Рассмотрим теперь три вектора в :

Векторному уравнению

эквивалентна система из трех уравнений

Если , то система (7") имеет единственное тривиальное решение . Но тогда и уравнение (7) имеет единственное тривиальное решение и система векторов , , , линейно независима.

Если , то система (7"), следовательно, и уравнение (7) имеют нетривиальное решение (). Но тогда система векторов (, , ) линейно зависима. Но здесь можно различать детали:

1) Пусть ранг, где

Тогда по крайней мере одна из строк , пусть для определенности первая, имеет хотя бы один элемент, не равный нулю. Рассмотрим матрицу

Она имеет ранг 1, поэтому все порождаемые ею определители второго порядка равны нулю

Но тогда, очевидно, компоненты векторов и пропорциональны.

Аналогично, учитывая, что в матрице

тоже все определители второго порядка равны нулю, получим, что

где - некоторое число. Таким образом, в этом случае векторы , , коллинеарны.

2) Пусть теперь ранг . Тогда одна из матриц, состоящих из двух строк матрицы , имеет ранг 2. Пусть для определенности это есть матрица (см. (8)). На основании примера 3 векторы и , линейно независимы. Но система , , зависима, т. е. для некоторой нетривиальной тройки чисел ()

Здесь , потому что иначе , и в силу независимости системы , было бы . Но тогда равенство (9) можно разрешить относительно :

Таким образом, если , а ранг (см. (8)), то векторы и неколлинеарны, а вектор , принадлежит к плоскости этих векторов.. Существует не равный нулю определитель уравнений системы (2") удовлетворяются найденными числами (см.(11)) и произвольными числами . На основании утверждения 2) §4 (правила решения систем) числа удовлетворяют и остальным уравнениям системы (2"), т. е. числа , (не все равные нулю) удовлетворяют остальным уравнениям системы (2").

Таким образом, векторы линейно зависимы, и теорема доказана и в этом случае.

Определение 1 . Линейной комбинацией векторовназывается сумма произведений этих векторов на скаляры:

Определение 2 . Система векторовназывается линейно зависимой системой, если линейная комбинация их (2.8) обращается в нуль:

причем среди чиселсуществует хотя бы одно, отличное от нуля.

Определение 3 . Векторыназываются линейно независимыми, если их линейная комбинация (2.8) обращается в нуль лишь в случае, когда все числа.

Из этих определений можно получить следующие следствия.

Следствие 1 . В линейно зависимой системе векторов хотя бы один вектор может быть выражен как линейная комбинация остальных.

Доказательство . Пусть выполнено (2.9) и пусть для определенности, коэффициент. Имеем тогда:. Заметим, что справедливо и обратное утверждение.

Следствие 2. Если система векторовсодержит нулевой вектор, то эта система (обязательно) линейно зависима – доказательство очевидно.

Следствие 3 . Если средиn векторовкакие либоk () векторов линейно зависимы, то и всеn векторов линейно зависимы (опустим доказательство).

2 0 . Линейные комбинации двух, трех и четырех векторов . Рассмотрим вопросы линейной зависимости и независимости векторов на прямой, плоскости и в пространстве. Приведем соответствующие теоремы.

Теорема 1 . Для того чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Необходимость . Пусть векторыилинейно зависимы. Это означает, что их линейная комбинация=0 и (ради определенности). Отсюда следует равенство, и (по определению умножения вектора на число) векторыиколлинеарны.

Достаточность . Пусть векторыиколлинеарны (║) (предполагаем, что они отличны от нулевого вектора; иначе их линейная зависимость очевидна).

По теореме (2.7) (см. §2.1,п.2 0) тогдатакое, что, или– линейная комбинация равна нулю, причем коэффициент приравен 1 – векторыилинейно зависимы.

Из этой теоремы вытекает следующее следствие.

Следствие . Если векторыине коллинеарны, то они линейно независимы.

Теорема 2 . Для того чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Необходимость . Пусть векторы,илинейно зависимы. Покажем, что они компланарны.

Из определения линейной зависимости векторов следует существование чисел итаких, что линейная комбинация, и при этом (для определенности). Тогда из этого равенства можно выразить вектор:=, то есть векторравен диагонали параллелограмма, построенного на векторах, стоящих в правой части этого равенства (рис.2.6). Это означает, что векторы,илежат в одной плоскости.

Достаточность . Пусть векторы,икомпланарны. Покажем, что они линейно зависимы.

Исключим случай коллинеарности какой либо пары векторов (ибо тогда эта пара линейно зависима и по следствию 3 (см.п.1 0) все три вектора линейно зависимы). Заметим, что такое предположение исключает также существование нулевого вектора среди указанных трех.

Перенесем три компланарных вектора в одну плоскость и приведем их к общему началу. Через конец вектора проведем прямые, параллельные векторами; получим при этом векторыи(рис.2.7) – их существование обеспечено тем, что векторыине коллинеарные по предположению векторы. Отсюда следует, что вектор=+. Переписав это равенство в виде (–1)++=0, заключаем, что векторы,илинейно зависимы.

Из доказанной теоремы вытекает два следствия.

Следствие 1 . Пустьине коллинеарные векторы, вектор– произвольный, лежащий в плоскости, определяемой векторамии, вектор. Существуют тогда числаитакие, что

Следствие 2 . Если векторы,ине компланарны, то они линейно независимы.

Теорема 3 . Любые четыре вектора линейно зависимы.

Доказательство опустим; с некоторыми изменениями оно копирует доказательство теоремы 2. Приведем следствие из этой теоремы.

Следствие . Для любых некомпланарных векторов,,и любого вектораитакие, что

Замечание . Для векторов в (трехмерном) пространстве понятия линейной зависимости и независимости имеют, как это следует из приведенных выше теорем 1-3, простой геометрический смысл.

Пусть имеются два линейно зависимых вектора и. В таком случае один из них является линейной комбинацией второго, то есть просто отличается от него численным множителем (например,). Геометрически это означает, что оба вектора находятся на общей прямой; они могут иметь одинаковое или противоположное направления (рис.2.8 хх).

Если же два вектора расположены под углом друг к другу (рис.2.9 хх), то в этом случае нельзя получить один из них умножением другого на число – такие векторы линейно независимы. Следовательно, линейная независимость двух векторов иозначает, что эти векторы не могут быть уложены на одну прямую.

Выясним геометрический смысл линейной зависимости и независимости трех векторов.

Пусть векторы ,илинейно зависимы и пусть (для определенности) векторявляется линейной комбинацией векторови, то есть расположен в плоскости, содержащей векторыи. Это означает, что векторы,илежат в одной плоскости. Справедливо и обратное утверждение: если векторы,илежат в одной плоскости, то они линейно зависимы.

Таким образом, векторы ,илинейно независимы в том и только в том случае, если они не лежат в одной плоскости.

3 0 . Понятие базиса . Одним из важнейших понятий линейной и векторной алгебры является понятие базиса. Введем определения.

Определение 1 . Пара векторов называется упорядоченной, если указано, какой вектор этой пары считается первым, а какой вторым.

Определение 2. Упорядоченная пара,неколлинеарных векторов называется базисом на плоскости, определяемой заданными векторами.

Теорема 1 . Всякий векторна плоскости может быть представлен как линейная комбинация базисной системы векторов,:

и это представление единственно.

Доказательство . Пусть векторыиобразуют базис. Тогда любой векторможно представить в виде.

Для доказательства единственности предположим, что имеется еще одно разложение . Имеем тогда=0, причем хотя бы одна из разностей отлична от нуля. Последнее означает, что векторыилинейно зависимы, то есть коллинеарны; это противоречит утверждению, что они образуют базис.

Но тогда – разложение единственно.

Определение 3 . Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой вектор ее считается первым, какой вторым, а какой третьим.

Определение 4 . Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется базисом в пространстве.

Здесь также справедлива теорема разложения и единственности.

Теорема 2 . Любой векторможет быть представлен как линейная комбинация базисной системы векторов,,:

и это представление единственно (опустим доказательство теоремы).

В разложениях (2.12) и (2.13) величины называются координатами векторав заданном базисе (точнее, аффинными координатами).

При фиксированном базисе иможно писать.

Например, если задан базис и дано, что, то это означает, что имеет место представление (разложение).

4 0 . Линейные операции над векторами в координатной форме . Введение базиса позволяет линейные операции над векторами заменить обычными линейными операциями над числами – координатами этих векторов.

Пусть задан некоторый базис . Очевидно, задание координат вектора в этом базисе полностью определяет сам вектор. Имеют место следующие предложения:

а) два вектора иравны тогда и только тогда, когда равны их соответственные координаты:

б) при умножении вектора на числоего координаты умножаются на это число:

в) при сложении векторов складываются их соответственные координаты:

Доказательства этих свойств опустим; докажем лишь для примера свойство б). Имеем

Замечание . В пространстве (на плоскости) можно выбрать бесконечно много базисов.

Приведем пример перехода от одного базиса к другому, установим соотношения между координатами вектора в различных базисах.

Пример 1 . В базисной системезаданы три вектора:,и. В базисе,,векторимеет разложение. Найти координаты векторав базисе.

Решение . Имеем разложения:,,; следовательно,=+2+= =, то естьв базисе.

Пример 2 . Пусть в некотором базисечетыре вектора заданы своими координатами:,,и.

Выяснить, образуют ли векторы базис; в случае положительного ответа найти разложение векторав этом базисе.

Решение . 1) векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим линейную комбинацию векторов() и выясним, при какихиона обращается в нуль:=0. Имеем:

По определению равенства векторов в координатной форме получим следующую систему (линейных однородных алгебраических) уравнений: ;;, определитель которой=1, то есть система имеет (лишь) тривиальное решение. Это означает линейную независимость векторови, следовательно, они образуют базис.

2) разложим вектор в этом базисе. Имеем:=или в координатной форме.

Переходя к равенству векторов в координатной форме, получим систему линейных неоднородных алгебраических уравнений: ;;. Решая ее (например, по правилу Крамера), получим:,,и (). Имеем разложение векторав базисе:=.

5 0 . Проекция вектора на ось. Свойства проекций. Пусть имеется некоторая осьl , то есть прямая с выбранным на ней направлением и пусть задан некоторый вектор.Определим понятие проекции векторана осьl .

Определение . Проекцией векторана осьl называется произведение модуля этого вектора на косинус угла между осьюl и вектором (рис.2.10):

Следствием этого определения является утверждение о том, что равные векторы имеют равные проекции (на одну и ту же ось).

Отметим свойства проекций.

1) проекция суммы векторов на некоторую ось l равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось:

2) проекция произведения скаляра на вектор равна произведению этого скаляра на проекцию вектора на ту же ось:

Следствие . Проекция линейной комбинации векторов на ось равна линейной комбинации их проекций:

Доказательства свойств опустим.

6 0 . Прямоугольная декартова система координат в пространстве .Разложение вектора по ортам осей. Пусть в качестве базиса выбраны три взаимно перпендикулярных орта; для них вводим специальные обозначения. Поместив их начала в точкуO , направим по ним (в соответствии с ортами) координатные осиOx ,Oy иOz (ось с выбранным на ней положительным направлением, началом отсчета и единицей длины называется координатной осью).

Определение . Упорядоченная система трех взаимно перпендикулярных координатных осей с общим началом и общей единицей длины называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве.

Ось Ox называется осью абсцисс,Oy – осью ординат иOz – осью аппликат.

Займемся разложением произвольного вектора по базису . Из теоремы (см.§2.2,п.3 0 , (2.13)) следует, чтоможет быть и единственным образом разложен по базису(здесь вместо обозначения координатупотребляют):

В (2.21) суть (декартовы прямоугольные) координаты вектора. Смысл декартовых координат устанавливает следующая теорема.

Теорема . Декартовы прямоугольные координатывектораявляются проекциями этого вектора соответственно на осиOx ,Oy иOz .

Доказательство. Поместим векторв начало системы координат – точкуO . Тогда его конец будет совпадать с некоторой точкой.

Проведем через точку три плоскости, параллельные координатным плоскостямOyz ,Oxz иOxy (рис.2.11 хх). Получим тогда:

В (2.22) векторы иназываются составляющими векторапо осямOx ,Oy иOz .

Пусть через иобозначены соответственно углы, образованные векторомс ортами. Тогда для составляющих получим следующие формулы:

= =, = =, = =(2.23)

Из (2.21), (2.22) (2.23) находим:

– координаты вектораесть проекции этого вектора на координатные осиOx ,Oy иOz соответственно.

Замечание . Числаназываются направляющими косинусами вектора.

Модуль вектора (диагональ прямоугольного параллелепипеда) вычисляется по формуле:

Из формул (2.23) и (2.24) следует, что направляющие косинусы могут быть вычислены по формулам:

Возводя обе части каждого из равенств в (2.25) и складывая почленно левые и правые части полученных равенств, придем к формуле:

– не любые три угла образуют некоторое направление в пространстве, но лишь те, косинусы которых связаны соотношением (2.26).

7 0 . Радиус-вектор и координаты точки .Определение вектора по его началу и концу . Введем определение.

Определение . Радиусом-вектором (обозначается) называется вектор, соединяющий начало координатO с этой точкой (рис.2.12 хх):

Любой точке пространства соответствует определенный радиус-вектор (и обратно). Таким образом, точки пространства представляются в векторной алгебре их радиус-векторами.

Очевидно, координаты точкиM являются проекциями ее радиус-векторана координатные оси:

и, таким образом,

– радиус-вектор точки есть вектор, проекции которого на оси координат равны координатам этой точки. Отсюда следует две записи: и.

Получим формулы для вычисления проекций вектора по координатам его начала – точкеи конца – точке.

Проведем радиус-векторы и вектор(рис.2.13). Получим, что

– проекции вектора на координатные орты равны разностям соответствующих координат конца и начала вектора.

8 0 . Некоторые задачи на декартовы координаты .

1) условия коллинеарности векторов . Из теоремы (см.§2.1,п.2 0 , формула (2.7)) следует, что для коллинеарности векторовинеобходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:=. Из этого векторного равенства получаем три в координатной форме равенства:, откуда следует условие коллинеарности векторов в координатной форме:

– для коллинеарности векторов инеобходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны.

2) расстояние между точками . Из представления (2.29) следует, что расстояниемежду точкамииопределяется формулой

3) деление отрезка в данном отношении . Пусть даны точкиии отношение. Нужно найти– координаты точкиM (рис.2.14).

Имеем из условия коллинеарности векторов: , откудаи

Из (2.32) получим в координатной форме:

Из формул (2.32’) можно получить формулы для вычисления координат середины отрезка , полагая:

Замечание . Будем считать отрезкииположительными или отрицательными в зависимости от того, совпадает их направление с направлением от началаотрезка к концу, или не совпадает. Тогда по формулам (2.32) – (2.32”) можно находить координат точки, делящей отрезоквнешним образом, то есть так, что делящая точкаM находится на продолжении отрезка, а не внутри его. При этом конечно,.

4) уравнение сферической поверхности . Составим уравнение сферической поверхности – геометрического места точек, равноудаленных на расстояниеот некоторого фиксированного центра – точки. Очевидно, что в данном случаеи с учетом формулы (2.31)

Уравнение (2.33) и есть уравнение искомой сферической поверхности.