И деление чисел - действиями второй ступени.
Порядок выполнения действий при нахождении значений выражений определяется следующими правилами:

1. Если в выражении нет скобок и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо.
2. Если выражение содержит действия первой и второй ступени и в нем нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, потом - действия первой ступени.
3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2).

Пример 1. Найдем значение выражения

а) х + 20 = 37;
б) у + 37 = 20;
в) а - 37 = 20;
г) 20 - m = 37;
д) 37 - с = 20;
е) 20 + k = 0.

636. При вычитании каких натуральных чисел может получиться 12? Сколько пар таких чисел? Ответьте на те же вопросы для умножения и для деления.

637. Даны три числа: первое - трехзначное, второе - значение частного от деления шестизначного числа на десять, а третье - 5921. Можно ли указать наибольшее и наименьшее из этих чисел?

638. Упростите выражение:

а) 2а + 612 + 1а + 324;
б) 12у + 29у + 781 + 219;

639. Решите уравнение:

а) 8х - 7х + 10 = 12;
б) 13у + 15у- 24 = 60;
в) Зz - 2z + 15 = 32;
г) 6t + 5t - 33 = 0;
д) (х + 59) : 42 = 86;
е) 528: k - 24 = 64;
ж) р: 38 - 76 = 38;
з) 43m- 215 = 473;
и) 89n + 68 = 9057;
к) 5905 - 21 v = 316;
л) 34s - 68 = 68;
м) 54b - 28 = 26.

640. Животноводческая ферма обеспечивает привес 750 г на одно животное в сутки. Какой привес получает комплекс за 30 дней на 800 животных?

641. В двух больших и пяти маленьких бидонах 130 л молока. Сколько молока входит в маленький бидон, если его вместимость в четыре раза меньше вместимости большего?

642. Собака увидела хозяина, когда была от него на расстоянии 450 м, и побежала к нему со скоростью 15 м/с. Какое расстояние между хозяином и собакой будет через 4 с; через 10 с; через t с?

643. Решите с помощью уравнения задачу:

1) У Михаила в 2 раза больше орехов, чем у Николая, а у Пети в 3 раза больше, чем у Николая. Сколько орехов у каждого, если у всех вместе 72 ореха?

2) Три девочки собрали на берегу моря 35 ракушек. Галя нашла в 4 раза больше, чем Маша, а Лена - в 2 раза больше, чем Маша. Сколько ракушек нашла каждая девочка?

644. Составьте программу вычисления выражения

8217 + 2138 (6906 - 6841) : 5 - 7064.

Запишите эту программу в виде схемы. Найдите значение выражения.

645. Напишите выражение по следующей программе вычисления:

1. Умножить 271 на 49.
2. Разделить 1001 на 13.
3. Результат выполнения команды 2 умножить на 24.
4. Сложить результаты выполнения команд 1 и 3.

Найдите значение этого выражения.

646. Напишите выражение по схеме (рис. 60). Составьте программу его вычисления и найдите его значение.

647. Решите уравнение:

а) Зх + bх + 96 = 1568;
б) 357z - 1492 - 1843 - 11 469;
в) 2у + 7у + 78 = 1581;
г) 256m - 147m - 1871 - 63 747;
д) 88 880: 110 + х = 809;
е) 6871 + р: 121 = 7000;
ж) 3810 + 1206: у = 3877;
з) к + 12 705: 121 = 105.

648. Найдите частное:

а) 1 989 680: 187; в) 9 018 009: 1001;
б) 572 163: 709; г) 533 368 000: 83 600.

649. Теплоход 3 ч шел по озеру со скоростью 23 км/ч, а потом 4 ч по реке. Сколько километров прошел теплоход за эти 7 ч, если по реке он шел на 3 км/ч быстрее, чем по озеру?

650. Сейчас расстояние между собакой и кошкой 30 м. Через сколько секунд собака догонит кошку, если скорость собаки 10 м/с, а кошки - 7 м/с?

651. Найдите в таблице (рис. 61) все числа по порядку от 2 до 50. Это упражнение полезно выполнить несколько раз; можно соревноваться с товарищем: кто быстрее отыщет все числа?

Н.Я. ВИЛЕНКИН, B. И. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, C. И. ШВАРЦБУРД, Математика 5 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений

Планы конспектов уроков по математике 5 класса скачать , учебники и книги бесплатно, разработки уроков по математике онлайн

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Методические подходы к изучению правил порядка выполнения действий в выражениях в начальных классах

Федорова Екатерина Борисовна

учитель начальных классов МБО «СШ№ 8» г. Нижневартовск

Среди умений, которыми должны овладеть учащиеся, оканчивающие начальную школу, в программе указано умение вычислять значение числовых выражений, содержащих два – три действия. Но практика показывает, что учащиеся допускают ошибки в порядке выполнения действий в выражениях. Особенно в выражениях, например, содержащих в скобках действия разных ступеней. Это наблюдается и в 5-м классе, где количество действий в выражениях значительно увеличивается, и структура числового выражения усложняется по сравнению с 4 –м классом.

Рассмотрим последовательность изучения выражений в начальном курсе математики в подходе М.И. Моро. С простейшими числовыми выражениями (сумма вида 2+3, разность вида 5-1) дети встречаются начиная с первых шагов в изучении арифметических действий. Самое важное, чтобы дети поняли, что при решении задачи вида: « На одной тарелке 2 яблока, на другой 5 яблок. Сколько всего яблок на этих тарелках? » - ответить на поставленный вопрос можно не только, сказав, что всего на них 7 яблок, но и так: « Всего на этих тарелках 2+5 яблок ». При продолжении задачи: «Три яблока съели», - дети составляют числовое выражение в два действия:2+5-3.При этом, отвечая на вопрос: «Сколько яблок осталось?», - первоклассники учатся различать понятия «выражение» и «значение выражения». Всякое число рассматривается также как выражение. Из выражений можно составлять новые выражение, соединяя их знаками арифметических действий. Для того чтобы указать, какие именно выражения соединяются, возникает необходимость использовать дополнительные символы – скобки. Для нахождения значения выражения важно знание правил порядка выполнения действий в выражениях.

Подготовка к изучению таких правил начинается в первом классе. На практическом уровне, когда первоклассники учатся прибавлять или вычитать последовательно два числа, например: 6+2+1, 7-1-3, дети усваивают порядок выполнения действий в таких выражениях. Они рассуждают: « Сначала к 6-ти надо прибавить 2, получается 8. К 8-ми прибавлю 1, получу 9». Во 2-м классе обучающиеся усваивают правило: действия в скобках выполняются сначала. Рассматривается задание вида: Из числа 10 вычесть сумму чисел 6 и 3. Учитель поясняет, чтобы подчеркнуть, что вычитать надо сразу сумму чисел.

10 - 6+3=1, обводим сумму в овал. Лишнюю часть овала убирать, чтобы запись поместилась в строчку. Оставшаяся часть от овала и называется скобками: 10-(6+3)=1. Формируется формула.

Порядок выполнения действий в выражениях изучается во 3-м классе, когда вводятся три правила: для выражений без скобок с действиями одной ступени, для выражений без скобок с действиями разных ступеней и для выражений со скобками. Каждое правило можно представить в виде модели. Слайд

Особенности числового выражения

№п\п	Особенности числового выражения	Порядок выполнения действий	Модель
	Содержит только + или – или только x или:	По порядку (слева направо)
	Содержит не только + и - , но и x или:	Сначала выполняют по порядку (слева направо) x и:, а потом + и – (слева направо)
	Содержит одну или несколько пар скобок	Сначала находят значения выражений в скобках, а затем выполняют действия по правилам 1 и 2

Третье правило удобно представить в алгоритмизированной форме.

При нахождении значения выражения действия выполняются в следующем порядке:

1)действия, записанные в скобках;

2) действия умножение и деление, по порядку слева направо;

3) действия, сложения и вычитания, по порядку слева направо.

Правила полезно проиллюстрировать наглядно.

Выражения сложной структуры выражений могут содержать несколько пар скобок, тогда правила порядка выполнения действий в выражениях можно представить такой моделью: наиболее сложные выражения в скобках содержат все четыре действия. Порядок действий в них представить удобно такой моделью:

Рассмотрим подход Н,Б, Истоминой к изучению правил порядка выполнения действий в выражениях. В пособии Н.Б. Истоминой Математика: программа 1-4 классы ярко выражено формирование учебных действий, это осуществляется в учебнике при изучении всех разделов начального курса математики. В том числе сюда входит раздел «Выражения». В разделе «Арифметические действия» встречается тема «Числовые выражения». В первом классе при изучении темы «Сложения», учащиеся знакомятся с понятием «математические выражения».

В третьем классе изучается тема «Правила порядка выполнения действий в выражениях». Далее рассматривается тема «Сходство и различие числовых выражений», «Преобразование числовых выражений».

В учебниках Н.Б.Истоминой представлена интересная система учебных заданий на применение правил порядка выполнения действий в выражениях. Например:

1.Решая задачу ученики составляют выражения. Обсуждают, доказывают и осознают, что знак «()» важен. Например, 39-1·6+3·5, 39-(1·6+3·5).

2.Расставь порядок выполнения действий на каждой схеме и объясни, каким правилом порядка выполнения действий в выражениях ты пользовался:

□-□·(□+□)+□:□-□

(□-□):□-□·(□+□)+□

3.Какие арифметическиедействия могут выполняться в указанном порядке?

4.Какие числа можно вставить в «окошки», чтобы получились верные равенства:

□-□·□+□=72

(□-□)□·□+□=100

На правильность применения правил порядка выполнения действий значительное влияние оказывает структура выражений и числовой материал. В структуре выражений большую роль играет набор, количество и расположение действий в выражениях, наличие в них скобок. Охарактеризуем некоторые из них. В выражениях, содержащих оба действия одной ступени, ошибки заключаются в том, что учащиеся отдают приоритет сложению раньше вычитания и умножению - раньше деления, не обращая внимания на порядок их записи. Например: В выражении 70:5*2 = 7, ребенок выполняет первым действие – умножение, а вторым деление .Одна из причин таких ошибок – особенность восприятия и воспроизведения учащимися соответствующих правил порядка выполнения действий. Другая причина этих ошибок – ориентировка учащихся не на правила, а на возможность выполнения действий – то есть на числовой материал. Для устранения таких ошибок полезна работа с моделями выражений, где числа обозначены «окошечками», а действия указаны. Требуется определить порядок их выполнения.

В выражении в три действия учащиеся чаще допускают ошибки в порядке выполнения действий, чем в выражениях в два действия, в которых выбирать надо только одно действие и к которым можно применить только какое-то одно правило порядка выполнения действий. Например, при вычислении значений выражения 90-48+12:6 ошибок значительно больше, чем при вычислении значения выражения 80-43+17. Следовательно, на основании того, что учащиеся умеют применять правило порядка выполнения действий, нельзя утверждать, что они смогут применить его столь же успешно в выражениях в три – четыре действия. Особенно ярко это проявляется в выражениях со скобками. Все учащиеся действие в скобках выполняют первым, поэтому в выражениях, содержащих всего два действия, ошибок в порядке выполнения действий нет. Напротив, в выражениях в три действия со скобками много ошибок: 100-(44-24):4=20, т.е ребята, допускают ошибки, утверждая, что сначала выполняют действие в скобках, а затем остальные действия по порядку записи .

Таким образом, центральная роль в процессе формирования знаний и умений принадлежит системе упражнений, включающих учебные задания с постоянным усложнением:

Вычисли значение выражения;

Выбор выражений по их структурной характеристике;

Сравни выражения и порядок выполнения в них действий;

Найди и объясни ошибки

Более сложным является изменение выражений и порядка выполнения действий, дополнение выражений и, наконец, конструирование выражений с учетом одного или нескольких условий.

Библиографический список

1. Ивашова О.А. Ошибки в порядке выполнения арифметических действий и пути их предупреждения// Начальная школа. – 1988. – №4. – С. 26-30.
2. Моро М.И. и Пышкало А.М. Методика обучения математики в I – III классах. Пособие для учителя. – М.: «Просвещение», 1978. – с.336.
3. Шадрина И.В. О порядке действий в арифметическом выражении// Начальная школа. – 2000. – №2. – С. 105-107.

И вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, иными словами, нужно соблюдать порядок выполнения действий .

В этой статье мы разберемся, какие действия следует выполнять сначала, а какие следом за ними. Начнем с самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа или переменные, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Дальше разъясним, какого порядка выполнения действий следует придерживаться в выражениях со скобками. Наконец, рассмотрим, в какой последовательности выполняются действия в выражениях, содержащих степени, корни и другие функции.

Навигация по странице.

Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок :

• действия выполняются по порядку слева направо,
• причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.

Озвученное правило воспринимается достаточно естественно. Выполнение действий по порядку слева направо объясняется тем, что у нас принято вести записи слева направо. А то, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием объясняется смыслом, который в себе несут эти действия.

Рассмотрим несколько примеров применения этого правила. Для примеров будем брать простейшие числовые выражения, чтобы не отвлекаться на вычисления, а сосредоточиться именно на порядке выполнения действий.

Пример.

Выполните действия 7−3+6 .

Решение.

Исходное выражение не содержит скобок, а также оно не содержит умножения и деления. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо, то есть, сначала мы от 7 отнимаем 3 , получаем 4 , после чего к полученной разности 4 прибавляем 6 , получаем 10 .

Кратко решение можно записать так: 7−3+6=4+6=10 .

Ответ:

7−3+6=10 .

Пример.

Укажите порядок выполнения действий в выражении 6:2·8:3 .

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, обратимся к правилу, указывающему порядок выполнения действий в выражениях без скобок. В исходном выражении содержатся лишь действия умножения и деления, а согласно правилу, их нужно выполнять по порядку слева направо.

Ответ:

Сначала 6 делим на 2 , это частное умножаем на 8 , наконец, полученный результат делим на 3.

Пример.

Вычислите значение выражения 17−5·6:3−2+4:2 .

Решение.

Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в исходном выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление. Так 5 умножаем на 6 , получаем 30 , это число делим на 3 , получаем 10 . Теперь 4 делим на 2 , получаем 2 . Подставляем в исходное выражение вместо 5·6:3 найденное значение 10 , а вместо 4:2 - значение 2 , имеем 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2 .

В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо выполнить оставшиеся действия: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

Ответ:

17−5·6:3−2+4:2=7 .

На первых порах, чтобы не перепутать порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками действий расставить цифры, соответствующие порядку их выполнения. Для предыдущего примера это выглядело бы так: .

Этого же порядка выполнения действий – сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание - следует придерживаться и при работе с буквенными выражениями.

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике встречается разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени. Разберемся с этим.

Определение.

Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление называют действиями второй ступени .

В этих терминах правило из предыдущего пункта, определяющее порядок выполнения действий, запишется так: если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Выражения часто содержат скобки, указывающие порядок выполнения действий . В этом случае правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками , формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.

Итак, выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения, и в них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий. Рассмотрим решения примеров для большей ясности.

Пример.

Выполните указанные действия 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Решение.

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, заключенных в эти скобки. Начнем с выражения 7−2·3 . В нем нужно сначала выполнить умножение, и только потом вычитание, имеем 7−2·3=7−6=1 . Переходим ко второму выражению в скобках 6−4 . Здесь лишь одно действие – вычитание, выполняем его 6−4=2 .

Подставляем полученные значения в исходное выражение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2 . В полученном выражении сначала выполняем слева направо умножение и деление, затем – вычитание, получаем 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 . На этом все действия выполнены, мы придерживались такого порядка их выполнения: 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Запишем краткое решение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6 .

Ответ:

5+(7−2·3)·(6−4):2=6 .

Бывает, что выражение содержит скобки в скобках. Этого бояться не стоит, нужно лишь последовательно применять озвученное правило выполнения действий в выражениях со скобками. Покажем решение примера.

Пример.

Выполните действия в выражении 4+(3+1+4·(2+3)) .

Решение.

Это выражение со скобками, это означает, что выполнение действий нужно начинать с выражения в скобках, то есть, с 3+1+4·(2+3) . Это выражение также содержит скобки, поэтому нужно сначала выполнить действия в них. Сделаем это: 2+3=5 . Подставив найденное значение, получаем 3+1+4·5 . В этом выражении сначала выполняем умножение, затем – сложение, имеем 3+1+4·5=3+1+20=24 . Исходное значение, после подстановки этого значения, принимает вид 4+24 , и остается лишь закончить выполнение действий: 4+24=28 .

Ответ:

4+(3+1+4·(2+3))=28 .

Вообще, когда в выражении присутствуют скобки в скобках, то часто бывает удобно выполнение действий начинать с внутренних скобок и продвигаться к внешним.

Например, пусть нам нужно выполнить действия в выражении (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Сначала выполняем действия во внутренних скобках, так как 4−6:2=4−3=1 , то после этого исходное выражение примет вид (4+(4+1)−1)−1 . Опять выполняем действие во внутренних скобках, так как 4+1=5 , то приходим к следующему выражению (4+5−1)−1 . Опять выполняем действия в скобках: 4+5−1=8 , при этом приходим к разности 8−1 , которая равна 7 .

Сегодня мы поговорим о порядке выполнения математических действий . Какие действия выполнять первыми? Сложение и вычитание, или умножение и деление. Странно, но у наших детей возникают проблемы с решением, казалось бы, элементарных выражений.

Итак, вспомним о том, что сначала вычисляются выражения в скобках

38 – (10 + 6) = 22 ;

Порядок выполнения действий :

1) в скобках: 10 + 6 = 16 ;

2) вычитание: 38 – 16 = 22 .

Если в выражение без скобок входит только сложение и вычитание, или только умножение и деление, то действия выполняются по порядку слева направо.

10 ÷ 2 × 4 = 20 ;

Порядок выполнения действий :

1) слева направо, сначала деление: 10 ÷ 2 = 5 ;

2) умножение: 5 × 4 = 20 ;

10 + 4 – 3 = 11 , т.е.:

1) 10 + 4 = 14 ;

2) 14 – 3 = 11 .

Если в выражении без скобок есть не только сложение и вычитание, но и умножение или деление, то действия выполняются по порядку слева направо, но преимущество имеет умножение и деление, их выполняют в первую очередь, а за ними и сложение с вычитанием.

18 ÷ 2 – 2 × 3 + 12 ÷ 3 = 7

Порядок выполнения действий:

1) 18 ÷ 2 = 9 ;

2) 2 × 3 = 6 ;

3) 12 ÷ 3 = 4 ;

4) 9 – 6 = 3 ; т.е. слева направо – результат первого действия минус результат второго;

5) 3 + 4 = 7 ; т.е. результат четвертого действия плюс результат третьего;

Если в выражении есть скобки, то сначала выполняются выражения в скобках, затем умножение и деление, а уж потом сложение с вычитанием.

30 + 6 × (13 – 9) = 54 , т.е.:

1) выражение в скобках: 13 – 9 = 4 ;

2) умножение: 6 × 4 = 24 ;

3) сложение: 30 + 24 = 54 ;

Итак, подведем итоги. Прежде чем приступить к вычислению, надо проанализировать выражение: есть ли в нем скобки и какие действия в нем имеются. После этого приступать к вычислениям в следующем порядке:

1) действия, заключенные в скобках;

2) умножение и деление;

3) сложение и вычитание.

Если вы хотите получать анонсы наших статей подпишитесь на рассылку “ “.