Содержащее единицу, называется кольцом с единицей . Обозначается единица, как правило, цифрой «1» (что отражает таковые свойства одноимённого числа) или иногда (например, в матричной алгебре), латинской буквой I или E .
Разные определения алгебраических объектов могут как требовать наличие единицы, так и оставлять её необязательным элементом. Односторонний нейтральный элемент единицей не называется. Единица единственна по общему свойству двустороннего нейтрального элемента.
Иногда единицами кольца называют его обратимые элементы , что может вносить путаницу.
Единица, нуль и теория категорий
Единица является единственным элементом кольца как идемпотентным, так и обратимым.
Обратимость
Обратимым называется всякий элемент u кольца с единицей, являющийся двусторонним делителем единицы, то есть:
∃ v 1: v 1 u = 1 {\displaystyle \exists v_{1}:v_{1}\,u=1} ∃ v 2: u v 2 = 1 {\displaystyle \exists v_{2}:u\,v_{2}=1} (a 1 + μ 1 1) (a 2 + μ 2 1) = a 1 a 2 + μ 1 a 2 + μ 2 a 1 + μ 1 μ 2 1 {\displaystyle (a_{1}+\mu _{1}{\mathbf {1} })(a_{2}+\mu _{2}{\mathbf {1} })=a_{1}a_{2}+\mu _{1}a_{2}+\mu _{2}a_{1}+\mu _{1}\mu _{2}{\mathbf {1} }}с сохранением таких свойств как ассоциативность и коммутативность умножения. Элемент 1 будет являться единицей расширенной алгебры. Если в алгебре уже была единица, то после расширения она превратится в необратимый идемпотент.
С кольцом такое тоже можно проделать, например потому, что всякое кольцо является ассоциативной алгеброй над
Пусть (K,+, ·) - кольцо. Так как (K, +) - абелева группа, учитывая свойства групп получим
СВ-ВО 1 . Во всяком кольце (K,+, ·) имеется единственный нулевой элемент 0 и для всякого a ∈ K имеется единственный противоположный ему элемент −a.
СВ-ВО 2. ∀ a, b, c ∈ K (a + b = a + c ⇒ b = c).
СВ-ВО 3. Для любых a, b ∈ K в кольце K существует единственная разность a − b, причем a − b = a + (−b). Таким образом, в кольце K определена операция вычитания, при этом она обладает свойствами 1′-8′.
СВ-ВО 4 . Операция умножения в K дистрибутивна относительно операции вычитания, т.е. ∀ a, b, c ∈ K ((a − b)c = ac − bc ∧ c(a − b) = ca − cb).
Док-во. Пусть a, b, c ∈ K. Учитывая дистрибутивность операции · в K относительно операции + и определение разности элементов кольца, получим (a − b)c + bc = ((a − b) + b)c = ac, откуда по определению разности следует, что (a − b)c = ac − bc.
Аналогично доказывается правый закон дистрибутивности операции умножения относительно операции вычитания.
СВ-В 5. ∀ a ∈ K a0 = 0a = 0.
Доказательство. Пусть a ∈ K и b-произвольный элемент из K. Тогда b − b = 0 и поэтому, учитывая предыдущее свойство, получим a0 = a(b − b) = ab − ab = 0.
Аналогично доказывается, что 0a = 0.
СВ-ВО 6. ∀ a, b ∈ K (−a)b = a(−b) = −(ab).
Доказательство. Пусть a, b ∈ K. Тогда (−a)b + ab = ((−a) + a)b =
0b = 0. Значит, (−a)b = −(ab).
Аналогично доказывается равенство a(−b) = −(ab).
СВ-ВО 7. ∀ a, b ∈ K (−a)(−b) = ab.
Доказательство. В самом деле, применяя дважды предыдущее свойство, получим (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)) = ab.
ЗАМЕЧАНИЕ. Свойства 6 и 7 называют правилами знаков в кольце.
Из дистрибутивности операции умножения в кольце K относительно операции сложения и свойств 6 и 7 вытекает следующее
СВ-ВО 8. Пусть k, l-произвольные целые числа. Тогда ∀ a, b ∈ K (ka)(lb) = (kl)ab.
Подкольцо
Подкольцом кольца (K,+, ·) называется подмножество H множества K, которое замкнуто относительно операций + и ·, определенных в K, и само является кольцом относительно этих операций.
Примеры подколец:
Так, Z -подкольцо кольца (Q,+, ·), Q-подкольцо кольца (R,+, ·), Rn×n -подкольцо кольца (Cn×n,+, ·), Z[x]-подкольцо кольца (R[x],+, ·), D -подкольцо кольца (C,+, ·).
Во всяком кольце (K,+, ·) само множество K, а также одноэлементное подмножество {0} являются подкольцами кольца (K,+, ·). Это так называемые тривиальные подкольца кольца (K,+, ·).
Простейшие свойства подколец.
Пусть H - подкольцо кольца (K,+, ·), т.е. (H,+, ·) само является кольцом. Значит, (H, +)-группа, т.е. H -подгруппа группы (K, +). Поэтому справедливы следующие утверждения.
СВ-ВО 1. Нулевой элемент подкольца H кольца K совпадает с нулевым элементом кольца K.
СВ-ВО 2 . Для всякого элемента a подкольца H кольца K противоположный ему элемент в H совпадает с −a, т.е. с противоположным ему элементом в K.
СВ-ВО 3. Для любых элементов a и b подкольца H их разность в H совпадает с элементом a − b, т.е. с разностью этих элементов в K.
Признаки подкольца.
ТЕОРЕМА 1 (первый признак подкольца).
Непустое подмножество H кольца K с операциями + и · является подкольцом кольцаK тогда итолькотогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:
∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)
∀ a ∈ H − a ∈ H, (2)
∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (3)
Необходимость. Пусть H - подкольцо кольца (K,+, ·). Тогда H -подгруппа группы (K, +). Поэтому по первому признаку подгруппы (в аддитивной формулировке), H удовлетворяет условиям (1) и (2). Кроме того, H замкнуто относительно операции умножения, определенной в K, т.е. H
удовлетворяет и условию (3).
Достаточность. Пусть H ⊂ K, H 6= ∅ и H удовлетворяет условиям (1) − (3). Из условий (1) и (2) по первому признаку подгруппы следует, что H -подгруппа группы (K, +), т.е. (H, +)-группа. При этом, так как (K, +)-абелева группа, (H, +) также абелева. Кроме того, из условия (3) следует, что умножение является бинарной операцией на множестве H. Ассоциативность операции · в H и ее дистрибутивность относительно операции + следуют из того, что такими свойствами обладают операции + и · в K.
ТЕОРЕМА 2 (второй признак подкольца).
Непустое подмножество H кольца K с операциями + и · является
подкольцом кольца K т. и т. т, когда оно удовлетворяет следующим условиям:
∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, (4)
∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (5)
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.
При этом используется теорема 2′ (второй признак подгруппы в аддитивной формулировке) и замечание к ней.
7.Поле (определение, виды, свойства, признаки).
Полем называется коммутативное кольцо с единицей e не равно 0, в котором всякий элемент, отличный отнуля имеет обратный.
Классическими примерами числовых полей являются поля (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·).
СВОЙСТВО 1. Во всяком поле F справедлив закон сокращения
на общий множитель, отличный от нуля, т.е.
∀ a, b, c ∈ F (ab = ac ∧ a не равно 0 ⇒ b = c).
СВОЙСТВО 2. Во всяком поле F нет делителей нуля.
СВОЙСТВО 3. Кольцо (K,+, ·) является полем тогда и только
тогда, когда множество K \ {0} есть коммутативная группа относительно операции умножения.
СВОЙСТВО 4 . Конечное ненулевое коммутативное кольцо (K,+, ·) без делителей нуля является полем.
Частное элементов поля.
Пусть (F,+, ·)-поле.
Частным элементов a и b поля F, где b не равно 0,
называется такой элемент c ∈ F, что a = bc.
СВОЙСТВО 1. Для любых элементов a и b поля F, где b не равно 0, существует единственное частное a/b, причем a/b= ab−1.
СВОЙСТВО 2. ∀ a ∈ F \ {0}
a/a= e и ∀ a ∈ F a/e= a.
СВОЙСТВО 3. ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ {0}
a/b=c/d ⇔ ad = bc.
СВОЙСТВО 4. ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ {0}
СВОЙСТВО 5. ∀ a ∈ F ∀ b, c, d ∈ F \ {0}
(a/b)/(c/d)=ad/bc
СВОЙСТВО 6. ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ {0}
СВОЙСТВО 7. ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ {0}
СВОЙСТВО 8. ∀ a, b ∈ F ∀ c ∈ F \ {0}
Поле F, единица которого имеет конечный порядок p в группе (F, +)p.
Поле F единица, которого имеет бесконечный порядок в группе (F, +), называется полем характеристики 0.
8. Подполе (определение, виды, свойства, признаки)
Подполем поля (F,+, ·) называется подмножество S множества F, которое замкнуто относительно операций + и ·, определенных в F, и само является полем относительно этих операций.
Приведем некоторые примеры подполей Q-подполе поля (R,+, ·);
R-подполе поля (C,+, ·);
справедливы следующие утверждения.
СВОЙСТВО 1. Нулевой элемент подполя S поля F совпадает с
нулевым элементом поля F.
СВОЙСТВО 2 . Для всякого элемента a подполя S поля F противоположный ему элемент в S совпадает с −a, т.е. с противоположным ему элементом в F.
СВОЙСТВО 3. Для любых элементов a и b подполя S поля F их
разность в S совпадает с a−b т.е. с разностью этих элементов в F.
СВОЙСТВО 4. Единица подполя S поля F совпадает с единицей
e поля F.
СВОЙСТВО 5 . Для всякого элемента a подполя S поля F, от-
личного от нуля, обратный к нему элемент в S совпадает с a−1, т.е. с элементом, обратным к a в F.
Признаки подполя.
ТЕОРЕМА 1 (первый признак подполя).
Подмножество H поля F c операциями +, ·, содержащее ненулевой
(F,+, ·)
∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)
∀ a ∈ H − a ∈ H, (2)
∀ a, b ∈ H ab ∈ H, (3)
∀ a ∈ H \ {0} a−1 ∈ H. (4)
ТЕОРЕМА2 (второй признак подполя).
Подмножество H поля F c операциями +, ·, содержащее ненулевой
элемент, является подполем поля (F,+, ·) тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:
∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, (5)
∀ a ∈ H ∀ b ∈ H\{0} a/b ∈ H. (6)
10. Отношение делимости в кольце Z
Утверждение: для любых элементов a,b,c коммутативного кольца на множестве R, справедливы следующие импликации:
1) а|b, b|c => a|c
2) a|b, a|c => a| (b c)
3) a|b => a|bc
для любого a, b Z справедливо:
2) a|b, b≠0 => |a|≤|b|
3)a|b и b|a ó |a|=|b|
Разделить с остатком целое число а на целое число b , значит найти такие целые числа q и r, что можно представить a=b*q + r, 0≤r≥|b|, где q – неполное частное, r- остаток
Теорема: Если a и b Z , b≠0, то а можно разделить на b с остатком,причем неполное частное и остаток определяются однозначно.
Следствие,если a и b Z , b≠0, то b|a ó
11. НОД и НОК
Наибольший общий делитель(НОД) чисел Z называется некоторое число d, удовлетворяющее следующим условиям
1) d является общим делителем т.е. d| , d| …d|
2) d делится на любой общий делитель чисел т.е. d| , d| …d| => d| , d| …d|
Определение 4.1.1. Кольцо (K , +, ) – это алгебраическая система с непустым множеством K и двумя бинарными алгебраическими операциями на нем, которые будем называть сложением и умножением . Кольцо является абелевой аддитивной группой, а умножение и сложение связаны законами дистрибутивности: (a + b ) c = a c + b c и с (a + b ) = c a + c b для произвольных a , b , c K .
Пример 4.1.1. Приведем примеры колец.
1. (Z , +, ), (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – соответственно кольца целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел с обычными операциями сложения и умножения. Данные кольца называются числовыми .
2. (Z / n Z , +, ) – кольцо классов вычетов по модулю n N с операциями сложения и умножения.
3. Множество M n (K ) всех квадратных матриц фиксированного порядка n N с коэффициентами из кольца (K , +, ) с операциями матричного сложения и умножения. В частности, K может быть равно Z , Q , R , C или Z /n Z приn N .
4. Множество всех вещественных функций, определенных на фиксированном интервале (a ; b ) вещественной числовой оси, с обычными операциями сложения и умножения функций.
5. Множество полиномов (многочленов) K [x ] с коэффициентами из кольца (K , +, ) от одной переменной x с естественными операциями сложения и умножения полиномов. В частности, кольца полиномов Z [x ], Q [x ], R [x ], C [x ], Z /n Z [x ] приn N .
6. Кольцо векторов (V 3 (R ), +, ) c операциями сложения и векторного умножения.
7. Кольцо ({0}, +, ) с операциями сложения и умножения: 0 + 0 = 0, 0 0 = = 0.
Определение 4.1.2. Различают конечные и бесконечные кольца (по числу элементов множества K ), но основная классификация ведется по свойствам умножения. Различают ассоциативные кольца, когда операция умножения ассоциативна (пункты 1–5, 7 примера 4.1.1) и неассоциативные кольца (пункт 6 примера 4.1.1: здесь , ). Ассоциативные кольца делятся на кольца с единицей (есть нейтральный элемент относительно умножения) и без единицы , коммутативные (операция умножения коммутативна) и некоммутативные .
Теорема 4.1.1. Пусть (K , +, ) – ассоциативное кольцо с единицей. Тогда множество K * обратимых относительно умножения элементов кольца K – мультипликативная группа.
Проверим выполнение определения группы 3.2.1. Пусть a , b K * . Покажем, что a b K * . (a b ) –1 = b –1 а –1 K . Действительно,
(a b ) (b –1 а –1) = a (b b –1) а –1 = a 1 а –1 = 1,
(b –1 а –1) (a b ) = b –1 (а –1 a ) b = b –1 1 b = 1,
где а –1 , b –1 K – обратные элементы к a и b соответственно.
1) Умножение в K * ассоциативно, так как K – ассоциативное кольцо.
2) 1 –1 = 1: 1 1 = 1 1 K * , 1 – нейтральный элемент относительно умножения в K * .
3) Для
a
K
* ,
а
–1 K
* ,
так как (а
–1) a
=
a
(а
–1) =
1
(а
–1) –1
=
a
.
Определение 4.1.3. Множество K * обратимых относительно умножения элементов кольца (K , +, ) называют мультипликативной группой кольца .
Пример 4.1.2. Приведем примеры мультипликативных групп различных колец.
1. Z * = {1, –1}.
2. M n (Q ) * = GL n (Q ), M n (R ) * = GL n (R ), M n (C ) * = GL n (C ).
3. Z /n Z * – множество обратимых классов вычетов, Z /n Z * = { | (k , n ) = 1, 0 k < n }, при n > 1 | Z /n Z * | = (n ), где – функция Эйлера.
4. {0} * = {0}, так как в данном случае 1 = 0.
Определение 4.1.4. Если в ассоциативном кольце (K , +, ) с единицей группа K * = K \{0}, где 0 – нейтральный элемент относительно сложения, то такое кольцо называют телом или алгеброй с делением . Коммутативное тело называется полем .
Из данного определения очевидно, что в теле K * и 1 K * , значит, 1 0, поэтому минимальное тело, являющееся полем, состоит из двух элементов: 0 и 1.
Пример 4.1.3.
1. (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – соответственно числовые поля рациональных, вещественных и комплексных чисел.
2. (Z /p Z , +, ) – конечное поле из p элементов, если p – простое число. Например, (Z /2Z , +, ) – минимальное поле из двух элементов.
3.
Некоммутативным
телом является тело кватернионов –
совокупность кватернионов, то есть
выражений вида h
=
a
+ bi
+ cj
+ dk
,
где a
,
b
,
c
,
d
R
,
i
2 =
= j
2 = k
2 = –1,
i
j
= k
= – j
i
,
j
k
= i
= – k
j
,
i
k
= – j
= – k
i
,
с операциями сложения и умножения.
Кватернионы складываются и перемножаются
почленно с учетом указанных выше формул.
Для всякого h
0
обратный кватернион имеет вид:
.
Различают кольца с делителями нуля и кольца без делителей нуля.
Определение 4.1.5. Если в кольце найдутся ненулевые элементы a и b такие, что a b = 0, то их называют делителями нуля , а само кольцо – кольцом с делителями нуля . В противном случае кольцо называется кольцом без делителей нуля .
Пример 4.1.4.
1. Кольца (Z , +, ), (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – кольца без делителей нуля.
2.
В
кольце (V
3 (R
), +, )
каждый отличный от нуля элемент является
делителем нуля, поскольку
для всех
V
3 (R
).
3.
В
кольце матриц M
3 (Z
)
примерами делителей нуля являются
матрицы
и
,
так как A
B
=
O
(нулевая матрица).
4. В кольце (Z / n Z , +, ) с составным n = k m , где 1 < k , m < n , классы вычетов и являются делителями нуля, так как .
Ниже приведем основные свойства колец и полей.
Аннотация: В данной лекции рассматриваются понятия колец. Приведены основные определения и свойства элементов кольца, рассмотрены ассоциативные кольца. Рассмотрен ряд характерных задач, доказаны основные теоремы, а также приведены задачи для самостоятельного рассмотрения
Кольца
Множество R с двумя бинарными операциями (сложением + и умножением ) называется ассоциативным кольцом с единицей , если:
Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативным кольцом. Коммутативные кольца являются одним из главных объектов изучения в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии.
Замечания 1.10.1 .
Примеры 1.10.2 (примеры ассоциативных колец) .
Мы уже убедились, что группа вычетов (Z n ,+)={C 0 ,C 1 ,...,C n-1 }, C k =k+nZ , по модулю n с операцией сложения , является коммутативной группой (см. пример 1.9.4, 2)).
Определим операцию умножения, полагая . Проверим корректность этой операции . Если C k =C k" , C l =C l" , то k"=k+nu , l"=l+nv , , и поэтому C k"l" =C kl .
Так как (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k , C 1 C k =C k =C k C 1 , (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C m , то является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей C 1 кольцом вычетов по модулю n ).
Свойства колец (R,+,.)
Лемма 1.10.3 (бином Ньютона) . Пусть R - кольцо с 1 , , . Тогда:
Доказательство.
Определение 1.10.4 . Подмножество S кольца R называется подкольцом , если:
а) S - подгруппа относительно сложения в группе (R,+) ;
б)для имеем ;
в)для кольца R с 1 предполагается, что .
Примеры 1.10.5 (примеры подколец) .
Задача 1.10.6 . Описать все подкольца в кольце вычетов Z n по модулю n .
Замечание 1.10.7 . В кольце Z 10 элементы, кратные 5 , образуют кольцо с 1 , не являющееся подкольцом в Z 10 (у этих колец различные единичные элементы).
Определение 1.10.8 . Если R - кольцо, и , , ab=0 , то элемент a называется левым делителем нуля в R , элемент b называется правым делителем нуля в R .
Замечание 1.10.9 . В коммутативных кольцах, естественно, нет различий между левыми и правыми делителями нуля.
Пример 1.10.10 . В Z , Q , R нет делителей нуля.
Пример 1.10.11 . Кольцо непрерывных функций C имеет делители нуля. Действительно, если
то , , fg=0 .
Пример 1.10.12
. Если n=kl
, 1 Лемма 1.10.13
. Если в кольце R
нет (левых) делителей нуля, то из ab=ac
, где , , следует, что b=c
(т. е. возможность сокращать на ненулевой элемент слева, если нет левых делителей нуля; и справа, если нет правых делителей нуля). Доказательство. Если ab=ac
, то a(b-c)=0
. Так как a
не является левым делителем нуля, то b-c=0
, т. е. b=c
. Определение 1.10.14
. Элемент называется нильпотентным
, если x n =0
для некоторого . Наименьшее такое натуральное число n
называется степенью нильпотентности элемента
. Ясно, что нильпотентный элемент является делителем нуля (если n>1
, то , ). Обратное утверждение неверно (в Z 6
нет нильпотентных элементов, однако 2
, 3
, 4
- ненулевые делители нуля). Упражнение 1.10.15
. Кольцо Z n
содержит нильпотентные элементы тогда и только тогда, когда n
делится на m 2
, где , . Определение 1.10.16
. Элемент x
кольца R
называется идемпотентом
, если x 2 =x
. Ясно, что 0 2 =0
, 1 2 =1
. Если x 2 =x
и , , то x(x-1)=x 2 -x=0
, и поэтому нетривиальные идемпотенты
являются делителями нуля. Через U(R)
обозначим множество обратимых элементов ассоциативного кольца R
, т. е. тех , для которых существует обратный элемент s=r -1
(т. е. rr -1 =1=r -1 r
). называется порядком элемента а. Если такого n
не существует, то элемент а называется элементом бесконечного порядка. Теорема 2.7
(малая теорема Ферма). Если a G
и G
конечная группа, то a
|G|
=e
. Примем без доказательства. Напомним, что каждая группа G,
°
является алгеброй с одной бинарной операцией, для которой выполняются три условия, т.е. указанные аксиомы группы. Подмножество G
1
множества G
с той же операцией, что и в группе, называется подгруппой, если G
1
,
°
является группой. Можно доказать, что непустое подмножество G
1
множества G
является подгруппой группы G,
°
тогда и только тогда, когда множество G
1
вместе с любыми элементами а и b
содержит элемент а°
b
-1
.
Можно доказать следующую теорему. Теорема 2.8
. Подгруппа циклической группы является циклической. Рассмотрим алгебры с двумя бинарными операциями. Кольцом называется непустое множество R
, на котором введены две бинарные операции + и °
, называемые сложением и умножением такие, что: 1)
R; +
является абелевой группой; 2)
умножение ассоциативно, т.е. для
a,b,c R: (a
°
b
°
)
°
c=a
°
(b
°
c)
; 3)
умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е. для
a,b,c R: a°
(b+c)=(a°
b)+(а
°
c) и
(а
+b)°
c= (a°
c)+(b°
c).
Кольцо называется коммутативным, если для a,b R: a
°
b=b
°
a
. Кольцо записываем как R; +,
°
.
Так как R
является абелевой (коммутативной) группой относительно сложения, то она имеет аддитивную единицу, которую обозначают через 0 или θ
и называют нулем. Аддитивную обратную для a R
обозначают через -а. При этом в любом кольце R
имеем: 0
+x=x+ 0
=x, x+(-x)=(-x)+x=0
, -(-x)=x. Тогда получаем, что x°
y=x°
(y+ 0
)=x°
y+ x°
0
x°
0
=0 для х
R; x°
y=(х
+ 0
)°
y=x°
y+ 0
°
y 0
°
y=0 для
y R.
Итак, мы показали, что для х R: x
°
0 =
0°
х =
0.
Однако из равенства x
°
y=0
не следует, что х=
0 или у=
0. Покажем это на примере. Пример. Рассмотрим множество непрерывных на отрезке
функций. Введем для этих функций обычные операции сложения и умножения: f(x)+
ϕ
(x)
и f(x)·
ϕ
(x)
. Как легко видеть, получим кольцо, которое обозначается C
. Рассмотрим функцию f(x)
и ϕ
(x)
, изображенные на рис. 2.3. Тогда получим, что f(x)
≡
/
0 и ϕ
(x)
≡
/
0, но f(x)·
ϕ
(x)
≡0. Мы доказали, что произведение равно нулю, если равен нулю один из множителей: a
°
0=
0 для a R
и на примере показали, что может быть, что a
°
b=
0 для a
≠
0 и b
≠
0. Если в кольце R
имеем, что a
°
b=
0, то а называется левым, а b
правым делителями нуля. Элемент 0 считаем тривиальным делителем нуля. f(x)·ϕ(x)≡0
ϕ
(x) Коммутативное кольцо без делителей нуля, отличных от тривиального делителя нуля, называют целостным кольцом или областью целостности. Легко видеть, что 0
=x°
(y+(-y))=x°
y+x°
(-y), 0
=(x+(-x))°
y=x°
y+(-x)°
y и поэтому x
°
(-y)=(-x)
°
y
является обратным элементом для элемента х°
у, т.е. х
°
(-у
) = (-х
)°
у
= -(х
°
у
).
Аналогично можно показать, что (-
х)
°
(-
у)
=
х°
у. Если в кольце R
существует единица относительно умножения, то эту мультипликативную единицу обозначают через 1. Легко доказать, что мультипликативная единица (как и аддитивная) единственна. Мультипликативную обратную для a R
(обратную по умножению) будем обозначать через а-1
. Теорема 2.9
. Элементы 0 и 1 являются различными элементами ненулевого кольца R
. Доказательство. Пусть R
содержит не только 0. Тогда для a
≠ 0 имеем а°
0=
0 и а°
1=
а ≠ 0, откуда следует, что 0 ≠ 1, ибо если бы 0=
1, то и их произведения на а совпадали бы. Теорема 2.10
. Аддитивная единица, т.е. 0,
не имеет мультипликативного обратного. Доказательство. а°
0=
0°
а=
0 ≠ 1 для а R
. Таким образом, ненулевое кольцо никогда не будет группой относительно умножения. Характеристикой кольца R
называют наименьшее натуральное число k
такое, что a
+
a
+
...
+
a
=
0
для всех a R
. Характеристика кольца k
− раз записывается k=char R
. Если указанного числа k
не существует, то полагаем char R=
0. Пусть Z
– множество всех целых чисел; Q
– множество всех рациональных чисел; R
– множество всех действительных чисел; С – множество всех комплексных чисел. Каждое из множеств Z, Q, R, C
с обычными операциями сложения и умножения является кольцом. Эти кольца являются коммутативными, с мультипликативной единицей, равной числу 1. Эти кольца не имеют делителей нуля, следовательно, являются областями целостности. Характеристика каждого из этих колец равна нулю. Кольцо непрерывных на
функций (кольцо C
) тоже является кольцом с мультипликативной единицей, которая совпадает с функцией, тождественно равной единице на
. Это кольцо имеет делители нуля, поэтому не является областью целостности и char C=
0. Рассмотрим ещё один пример. Пусть М - непустое множество и R=
2M
- множество всех подмножеств множества М. На R
введем две операции: симметрическую разность А+
В=
А В (которую назовём сложением) и пересечение (которое назовём умножением). Можно убедиться, что получили кольцо с единицей; аддитивной единицей этого кольца будет ,
а мультипликативной единицей кольца будет множество М. Для этого кольца при любом А,
А R
, имеем: А+
А =
А А=
. Следовательно, charR =
2.
Полем называется коммутативное кольцо, у которого ненулевые элементы образуют коммутативную группу относительно умножения. Приведем прямое определение поля, перечисляя все аксиомы. Поле – это множество P
с двумя бинарными операциями «+
» и «°
», называемыми сложением и умножением, такими, что: 1)
сложение ассоциативно: для
a, b, c R: (a+b)+c=a+(b+c)
; 2)
существует аддитивная единица: 0
P, что для
a P: a+0
=0
+a=a;
3)
существует обратный элемент по сложению: для
a P
(-a)
P:
(-a)+a=a+(-a)=0;
4)
сложение коммутативно: для
a, b P: a+b=b+a
; (аксиомы 1 – 4 означают, что поле есть абелева группа по сложению); 5)
умножение ассоциативно: для
a, b, c P: a
°
(b
°
c)=(a
°
b)
°
c
; 6)
существует мультипликативная единица: 1
P
, что для a P:
1
°
a=a°
1
=a;
7)
для любого ненулевого элемента
(a
≠ 0)
существует обратный элемент по умножению:
для a P, a
≠ 0,
a
-1
P:
a
-1
°
a
=
a
°
a
-1
=
1; 8)
умножение коммутативно: для
a,b P: a
°
b=b
°
a
; (аксиомы 5 – 8 означают, что поле без нулевого элемента образует коммутативную группу по умножению); 9) умножение дистрибутивно относительно сложения: для
a, b, c P: a°
(b+c)=(a°
b)+(a°
c), (b+c) °
a=(b°
a)+(c°
a).
Примеры полей: 1)
R;+,
- поле вещественных чисел; 2)
Q;+,
- поле рациональных чисел; 3)
C;+,
- поле комплексных чисел; 4)
пусть Р
2
={0,1}. Определим, что 1 +2
0=0 +2
1=1, 1 +2
1=0, 0 +2
0=0, 1×0=0×1=0×0=0, 1×1=1. Тогда F
2
= P
2
;+
2
,
является полем и называется двоичной арифметикой. Теорема 2.11
. Если а ≠ 0, то в поле единственным образом разрешимо уравнение а°
х=b
. Доказательство
. a°
x=b a-1
°
(a°
x)=a-1
°
b (a-1
°
a)°
x=a-1
°
b§ 7.
Алгебра с двумя операциями.
Кольцо
§ 8.
Кольцо с единицей
§ 9. Поле